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臺灣博碩士論文加值系統

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研究生:李岳鴻
研究生(外文):Yue-Hong Li
論文名稱:球面熱核跡數在圓作用下之漸進展開
論文名稱(外文):The Asymptotic Expansion of The Trace of Heat Kernel on S2 under S1-Action
指導教授:蔡宜洵
指導教授(外文):I-Hsun Tsai
口試委員:王藹農鄭日新
口試委員(外文):Ai-Nung WangJih-Hsin Cheng
口試日期:2020-06-16
學位類別:碩士
校院名稱:國立臺灣大學
系所名稱:數學研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2020
畢業學年度:108
語文別:英文
論文頁數:26
中文關鍵詞:漸進展開熱方程式群作用
外文關鍵詞:asymptotic expansionheat equationspheregroup action
DOI:10.6342/NTU202001084
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在這篇論文中,我們啟發自Jochen Brüning 及Ernst Heintze 的論文[2],延伸他們對於式子1.1 的討論,研究在特定例子下該漸進展開的係數。我們透過拉普拉思算子、熱核與群作用的基本性質,將原式轉變成以幾何性質定義的量,並且不斷透過泰勒展開式將積分化簡以求得目標係數。最後我們會發現積分內的函數如何影響係數。
In this thesis, we are inspired by Jochen Brüning and Ernst Heintze’s work [2] and
extend their result to achieve the coefficients of the asymptotic expansion of equation 1.1 in [2] in a specific condition. Our result will be based on their work. We will reduce the ordinary formula into an integration defined by some geometric objects via Laplacian, heat kernel and group action. Therefore, we use Taylor expansion to deal with the integration. We will find the relation between the functions in integration and the coefficients as our result.
口試委員會審定書. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
誌謝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
摘要. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Table of Contents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Heat Kernel on Riemannian Manifold and Sphere . . . . . . . . . . . 4
2.2 Group Action and Representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Computation for the coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1 distance in the spherecoordinate
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 1variable
integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.1 Study of 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 error function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.3 Study of 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.4 Further Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 2variables
integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Reduction of the integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
[1] S. MINAKSHISUNDARAM AND Å. PLEIJEL, Some Properties of The Eigenfunctions of The Laplace operator
on Riemannian Manifolds, Canadian J.Math (1949), 242-256.
[2] JOCHEN BRÜNING AND ERNST HEINTZE, The Asymptotic Expansion of MinakshisundaramPleijel
in Tne Equivariant Case, Duke Mathematical Journal (1984)
[3] JOCHEN BRÜNING, On The Asymptotic Expansion of Some Integrals, Arch. Math (1984)253-259
[4] PETER B. GILKEY, Invariance Theory, The Heat Equation. and The AtiyahSinger Index Theorem. (1996)
[5] IVAN G.AVRAMIDI, Heat Kernel Asympcs on Symmetric Spaces.(2006)
[6] HANS R.FISCHER, JERRY J.JUNGSTER, AND FLOYD L.WILLIAMS, The Heat Kernel on
the Two Sphere, Journal of Mathematical analysis and applications (1985), 328-334
[7] MASAYOSHI NAGASE, Expressions of the Heat Kernels on spheres by elementary functions and their recurrence relations, Saitama Math.J. (2010) 25-34
[8] KEN. RICHARDSON, The Asymptotics of Heat Kernels on Riemannian foliations, GAFA, Geom. funct. anal. (1998), 356-401
[9] KEN. RICHARDSON, The Transverse geometry of Gmanifolds and Riemannian Foliations, Illinois J.Math(2001), 517-535
[10] KEN. RICHARDSON, Traces of Heat Operators on Riemannian Foliations, AMS(2009)
[11] R. WONG, Asymptotic Approximations of integrals, SIAM(2001)
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