# 臺灣博碩士論文加值系統

(44.212.99.208) 您好！臺灣時間：2024/04/23 21:24

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 本篇論文會介紹數值分法和類神經網路兩種方式來對偏微分方程做數值分析。首先會以中央差分法先來做介紹，而這是一個能數值解微分方程的傳統方法。除此之外，也會討論針對不同類型的邊界條件所帶來的影響，分別為狄力克雷邊界條件和諾伊曼邊界條件。接下來會介紹沈浸介面法，是一個能處理任意維度介面問題的方法，但對於高維度問題時沈浸介面法會遇到困難。因此，我們會利用類神經網路的方法來嘗試能否解決此問題，且得到更好的準確度。針對介面問題，將會使用不連續捕獲淺層神經網路法來解決。最後，會針對連續與不連續偏的問題做降階法來看是否能得到更好的準確度。
 This thesis starts by introducing the Finite Difference Method (FDM)[1]which is one of the classic numerical methods that can solve the partialdifferential equations (PDEs). Moreover, we discuss the effect differenttypes of boundary conditions on the problems, including Dirichlet andNeumann boundary conditions. After that, we will tell the method thatcan solve the d -dimensional interface problem which is, Immersed InterfaceMethod (IIM)[2, 3]. Although the IIM could easily solve the interfaceproblem, it might be difficult to deal with the high-dimensional problem.Therefore, we tried to use the Neural Network (NN) [4] to see whether itis a good way to fix it and try to get better accuracy. For the interfaceproblem, we used the Discontinuity Capturing Shallow Neural Network(DSCNN) [5]. At last, we use a method of reduction for the continuousand discontinuous problems to find out it is a way to obtain results betterthan before.
 中文摘要 i英文摘要 ii誌謝 iii目錄 iv一. Introduction 1二. Finite Difference Method 22.1 One-dimensional Boundary Value Problem 22.2 Immersed Interface Method for One-dimensionalInterface Problem 4三. Neural Network 63.1 Neural Network structure 63.2 Discontinuity Capturing Shallow Neural Networkstructure 73.3 Function approximation 93.4 Solving Poisson equation 93.5 Solving Elliptic Interface Problems 123.6 Higher order problems 17四. Conclusion 20五. References 20
 [1] R. J. LeVeque, Finite Difference Methods for Differential Equations, SIAM, (2005).[2] Z. Li, K. Ito, The Immersed Interface Method: Numerical Solutions of PDEs InvolvingInterfaces and Irregular Domains, SIAM, (2006).[3] H.-C. Tseng, Numerical Methods and Applications for Immersed Interface Problems, Na-tional Chiao Tung University, (2006).[4] C. F. Higham, D. J. Higham, Deep Learning: An Introduction for Applied Mathematics,SIAM, (2019).[5] W.-F. Hu,T.-S. Lin ,M.-C. Lai, A Discontinuity Capturing shallow Neural Network for Elliptic Interface Problems, arXiv : 2106.05587, (2021).[6] D. Marquardt, An algorithm for least-squares estimation of nonlinear parameters, SIAM J. Appl. Math. 11(2) (431-441).21
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