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奇異積分算子與橢圓型算子的指標數理簡介：Ｈ1 i=1,2為二個希氏空間Ｔ：
Ｈ1→Ｈ2是有界算子，如果Ｔ的值域為Ｈ2的閉子空間，且ker Ｔ 及 coker Ｔ均
為有限維空間時，稱Ｔ為Fredhole型算子。而ind（Ｔ）＝dim ker Ｔ-dim coker
Ｔ稱為Ｔ的指標數。
ind Ｔ 有下列性質：
1.Ｔ1,Ｔ2為Fredholm算子，則Ｔ1OＴ2也是Fredholm算子，ind Ｔ1OＴ2＝ind
Ｔ1＋ind Ｔ2
2.Ｋ為緊緻算子，則Ｔ＋Ｋ也是Fredholm算子，indＴ＋Ｋ＝ind Ｔ
3.Ｔ為Fredholm算子，則存在ε＞0，使得∥Ｔ'－Ｔ∥＜ε時，Ｔ'必為Fredholm
算子，且ind Ｔ'＝ind Ｔ
最後這個性質稱為指標數的穩定性。
這種算子在偏微分方程中的橢圓型邊界值問題中出現：
設Ｄ是Ｒn中的一個區域，f,gj是分別定在Ｄ,ΘＤ上的圓滑函數，問何時
Ａ（x,Ｄ）u（x）＝ f（x） x e Ｄ
Ｂj（x',Ｄ）u（x'）＝gj（x'） x' e ΘＤ j＝1,2,......,n.
有一個解 u存在。其中 Ａ,Ｂj 為微分算子。通常都把（Ａ,Ｂj）看成一些適當空
間的Fredholm的算子，然後計算它的指標數。由於指標數的穩定性，Gelfand在1960
年提出：微分算子的指標數能否用一些位相不變量來表示。1963,1964 Atiyah,Bott,
Singer 依據 Colderom-zygmond, Seeley, Kohn-Nirenberg, Hormander 等人所發
展的奇異積分變子或更一般的擬微分算子理論，分別提出在沒有邊界或有邊界的緊
緻流形上橢圓型指標數的位相結果。他們詳細的說明，在Palais的Seminar 中可找
到。本文主要說明 Atiyah-Singer定理的第二種證明方法。這個方法主要在說明指
標數的計算和 Bott 的週期性定理的關係。
本文要求讀者要有Ｋ－理論一般的知識。例如Atiyah的書，又分析方面可參考
Palais的書或Seeley 的文章。
本文分三章，§1.簡單地說明Ｋ－理論的一些語言及符號。§2.說明橢圓型算
子的分析方面的結果，以及定義Ｋ（ＴＭ）的解析指標數，其中證明了移殖定理
(excision or transplanting theorem) ，乘法定理，以及一些基本橢圓型算子的
指標數的計算，§3.主要就利用§2.5.用餘調形式來表示算子的指標數，定理 3.1
是主要定理。
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