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研究生:陳柏宇
研究生(外文):Bo-Yu Chen
論文名稱:延森不等式、Muirhead不等式和蓋不等式
論文名稱(外文):Jensen Inequality, Muirhead Inequality andMajorization Inequality
指導教授:張福春張福春引用關係
指導教授(外文):Fu-Chuen Chang
學位類別:碩士
校院名稱:國立中山大學
系所名稱:應用數學系研究所
學門:數學及統計學門
學類:數學學類
論文種類:學術論文
論文出版年:2010
畢業學年度:98
語文別:中文
論文頁數:92
中文關鍵詞:三弦引理相異代表系伯克霍夫定理凸函數凹函數凸包雙重隨機矩陣延森不等式羅倫斯曲線蓋不等式Muirhead 不等式Muirhead 條件舒爾凹函數舒爾凸函數舒爾準則舒爾不等式支撐線不等式支撐線
外文關鍵詞:system of distinct representativesThree Chord LemmaBirkhoff Theoremconvex functionconcave functionconvex hulldouble stochastic matrixJensen InequalityLorenz CurveMajorization InequalitymajorizationMuirhead InequalityMuirhead conditionSchur concave functionSchur CriterionSchur convex functionSchur Inequalitysupporting lineSupporting Line Inequality
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本文第 1 章介紹延森不等式及其幾何意義,並介紹常用的幾個凸性確認準則。同時包含了延森不等式在各領域的應用。
第 2 章的舒爾不等式能簡單的處理三變數對稱不等式的問題。除此之外,也介紹如何利用三次多項式中根與係數的關係將舒爾不等式改寫的方法。
第 3 章由”蓋”的觀念引入Muirhead 不等式,它是算幾不等式的推廣。本章不僅討論蓋與Muirhead 條件的等價關係,同時也介紹兩個應用上的小技巧。
第 4 章討論蓋不等式,它與不等式理論中最多產的蓋\及舒爾凸函數相關,並考慮在基本對稱函數、樣本變異數、熵及生日問題上的應用。
Chapter 1 introduces Jensen Inequality and its geometric interpretation. Some useful criteria for checking the convexity of functions are discussed. Many applications in various fields are also included.
Chapter 2 deals with Schur Inequality, which can easily solve some problems involved symmetric inequality in three variables. The relationship between Schur Inequality and the roots and the coefficients of a cubic equation is also investigated.
Chapter 3 presents Muirhead Inequality which is derived from the concept of majorization. It generalizes the inequality of arithmetic and geometric means.
The equivalence of majorization and Muirhead’s condition is illustrated. Two useful tricks for applying Muirhead Inequality are provided.
Chapter 4 handles Majorization Inequality which involves Majorization and Schur convexity, two of the most productive concepts in the theory of inequalities.
Its applications in elementary symmetric functions, sample variance, entropy and birthday problem are considered.
圖目錄iii
中文摘要iv
Abstract v
第一章延森不等式1
1.1 前言. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 延森不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.2.1 凸函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 等號成立的條件. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 延森不等式的幾何意義. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2.4 凸性確認準則. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.5 支撐線. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 應用. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 古典不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 平面幾何. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.5 其他不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4 機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5 競賽題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.1 代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.2 三角函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.3 平面幾何. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.4 其他不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.5 機率. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.6 競賽題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
第二章舒爾不等式42
2.1 舒爾不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
2.2 根與係數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
2.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
第三章Muirhead 不等式53
3.1 Muirhead 不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
3.2 兩個有用的技巧. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
第四章蓋不等式68
4.1 舒爾凸函數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
4.2 蓋不等式. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 習題. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A 簡稱、符號對照表78
A.1 簡稱. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
A.2 符號. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
參考文獻79
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2. 〈小戴禮記考源〉,王夢鷗,《國立政治大學學報》第3期,1961年5月
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5. 〈神統與聖統─鄭玄、王肅感生說異解探義─〉,楊晉龍,《中國文哲研究集刊》第3期,1993年3月
6. 〈「禮」世界的建立──賈誼對禮法秩序的追求〉,林聰舜,《清華學報》新第23卷第2期,1993年6月
7. 〈古代祭祖立尸制度淺探〉,鄭憲仁,《孔孟月刊》第33卷第7期,1995年3月
8. 〈《儀禮》〈少牢饋食禮〉〈特牲饋食禮〉儀節之比較研究〉,韓碧琴,《國立中興大學臺中夜間部學報》第3期,1997年11月
9. 〈《儀禮》所見士、大夫祭禮之禮器比較研究〉,韓碧琴,《興大中文學報》第11期,1998年6月
10. 〈儀禮覲禮儀節研究〉,韓碧琴,《興大中文學報》第17期,2005年6月
11. 〈后倉與兩漢之禮文化〉,江乾益,《興大中文學報》第19期,2006年6月
12. 〈周代「諸侯大夫宗廟圖」研究〉,鄭憲仁,《漢學研究》第24卷第2期,2006年12月
13. 〈穀梁傳之著於竹帛及傳授源流考〉,李曰剛,《師大學報》第6期,1961年6月
14. 〈穀梁傳傳授源流考〉,王熙元,《孔孟學報》第28期,1974年9月
15. 〈賈誼春秋左氏承傳考〉,王更生,《孔孟學報》第35期,1978年4月