臺灣博碩士論文加值系統

透過微分來描述自變數與因變數關係的數學式，稱為微分方程。相對於微分方程，透過積分的方式來描述自變數與因變數關係的數學式稱為積分方程式。這兩種方程式提供了實際情形的數學模型，其解提供了我們如何預測系統行為。在求解的過程中，有時在描述相同的數學模型上，以積分方程的方式反而較為容易求得其解。在求解積分方程的過程中，我們發現這與方程式的類型有關，特別是方程式的核心。但在通用的例子，有些特別的分析方法可能會失敗，我們必須求助近似方法與數值的方法。本論文以Matlab撰寫程式來實現Volterra與Fredholm兩種積分方程的數值解，藉著實現數值解的過程、結果驗證求解積分方程的基本概念。相信本論文所提供的數據、結果可提供對積分方程數值解實現時的參考。

Describing relative of independent variable and dependent variable by differential type called differential equation. Different from differential equation, describing relative of independent variable and dependent variable by integral type called integral equation. Both equations provide mathematical model of practical situation. The solution of equations provide us with predict behavior of system. When we describe the some mathematical model, sometmes we found it is easier to solve solutions in integral type. During the process of solving integral equation, we try to get it to solve with the exact or approximate method, but when these two kinds of methods are not both very proper, often seek help from the numerical method. The numerical solution of Volterra and Fredholm two kinds of integral equations is solved with Matlab in this thesis. Numerical value result verifies basic conception solved integral equation.

摘 要 iii
ABSTRACT iv
致 謝 v
目　　次 vi
表目錄 viii
圖目錄 ix
第一章 緒論 1
1.1 研究動機 1
1.2 研究方法 1
1.3 論文架構 2
第二章 積分方程介紹 3
2.1 積分方程的定義 3
2.2 積分方程的分類 3
2.2.1 Volterra積分方程的類型 4
2.2.2 Fredholm積分方程的類型 4
2.2.3 齊性及線性在積分方程的意義 5
2.3 積分方程的問題 7
2.3.1 伯努力的問題(Bernoulli’s problem) 7
2.3.2 亞伯的問題(Abel’s problem) 8
2.4 初始值問題簡化到VOLTERRA積分方程式 11
2.5 邊界值問題簡化到FREDHOLM積分方程式 13
第三章 積分方程的解 15
3.1 VOLTERRA積分方程 15
3.1.1 Volterra第二類型積分方程式 15
3.1.2 Volterra第一類型積分方程式 16
3.2 FREDHOLM積分方程式 19
3.2.1 對稱核心在Fredholm積分方程的效應 19
3.2.2 Fredholm第二類型積分方程式 23
3.2.3 Fredholm第一類型積分方程式 27
第四章 積分方程數值解 30
4.1 VOLTERRA積分方程數值解 30
4.1.1 Volterra第二類型積分方程數值解 30
4.1.2 Volterra第一類型積分方程數值解 39
4.2 FREDHOLM積分方程數值解 42
4.2.1 第二類型積分方程數值解-非齊性 42
4.2.2齊性Fredholm積分方程式 47
4.2.3 Fredholm第一類型積分方程 55
第五章 結論 62
參考文獻 64
附錄 65
A BESSEL 函數 65
B 電通密度及介電常數 67
C 混和性邊界條件：雙積分方程式 69
C.1.1 帕松方程式及拉普拉斯方程式 69
C.1.2 帶電無限平盤[1] 72
C.1.3 帶電圓盤 75
D GAUSS-LEGENDRE[9]、[10] 79

[1] Abdul J. Jerri, Introduction to Integral Equations with Application, 4rd Ed,Wiley, New York, 1999
[2] Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov, HandBook of Integral Eqyation, CRC New York, 1998
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[8] Home page of Joceline Lega, Associate Professor Mathematics, Unviersity of A rizona, http://math.arizona.edu/~lega/583/Spring99/lectnotes/IE3.html
[9] Gauss-Legendre Quadrature, .Unviersity of Fullerton,http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/GaussianQuadMod.html
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