臺灣博碩士論文加值系統

摘要
在數學研究方面，非法魔方群是比合法魔方群更為龐大而且容易瞭解掌握的群，因此在本文我們將要對非法魔方群進行同態的建構研究。
首先，我們引進前人的做法，做適當的魔方標記而得到非法魔方群12類，這12類當中只有1類是合法移動魔術方塊群所生成的子群，將這12類元素利用魔方程式模擬、Sage數據運算及抽象代數理論的運算得到12類元素之間的關係，亦即卡萊表。
其次，利用卡萊表的元素比對，找尋元素之間具有相同運算關係的群，進行同構分析，此階段單位陪集只設定為合法魔方群1類；若把單位陪集增加為2類，則非法魔方群可生成6類元素，那原先的12類元素亦會以2對1的方式映射到這6類元素；同時發現12做因數分解，它的因數有12、6、4、3、2、1，因此重複本階段的工作，依序對12階、6階、4階、3階、2階、1階的卡萊表再分類，進行群的同態分析。
最後，我們利用各階的卡萊表結合成非法魔方群的同態模型，並且可以站在不同的觀點，依不同的觀點設定不同的單位陪集，而輕易抽離出非法魔方群的若干特性。
關鍵字: 非法魔方群、合法魔方群、同態

目 錄
口試委員會審定書
謝辭
中文摘要
英文摘要
目錄……………………………………………………………………………….. i
表圖目次………………………………………………………………………….. ii
第一章 簡介………………………………………………………………….. 1
第二章 魔術方塊的基本理論………………………………………………….. 3
第一節 記號………………………………………………………………… 3
第二節 位置及方向標記…………………………………………………… 4
第三節 位置向量…………………………………………………………… 5
第四節 合法及非法的組態………………………………………………… 5
第五節 魔術方塊合法的排列總數………………………………………… 6
第六節 方塊學基本定理…………………………………………………… 7
第三章 非法魔方群的同態建構……………………………………………… 8
第一節 等價類和子群的檢驗……………………………………………… 9
第二節 等價類之間的關係………………………………………………… 11
第三節 商群的建立………………………………………………………… 13
第四節 同態模式的建構………………………………………………… 15
第四章 結論及未來展望…………………………………………………… 20
參考文獻…………………………………………………………………….…… 22
附錄 相關代數理論………………………………………………………………23
表圖目次

表 3-2-1 非法魔方群12個等價類的階數表……………………………11
表 3-2-2 非法魔方群階數12的卡萊表………………………………… 13
表 3-3-1 Z12、A4及 卡萊表比對…………………………………………15
表 3-4-1 Z2及2階 卡萊表比對……………………………………… 15
表 3-4-2 各階卡萊表同構比對……………………………………… 16
表 3-4-3 4階商群與U(12)、D2卡萊表同構比對…………………… 18
表 3-4-4 2階商群與D1卡萊表同構比對………………………… 18
表 4-1 非法魔方群的同態模式表………………………………………… 21

圖 1-1不在研究範圍的魔方群…………………………………………… 1
圖 2-1小方塊的分類………………………………………………………… 3
圖 2-2-1角落方塊的位置號碼…………………………………………… 4
圖 2-2-2邊緣方塊的位置號碼………………………………………… 4
圖 2-2-3角落方塊及邊緣方塊的方向標識……………………………… 4
圖 2-5-1邊緣方塊翻轉……………………………………………………… 6
圖 2-5-2角落方塊順時針扭轉…………………………………………… 6
圖 2-5-3角落方塊逆時針扭轉…………………………………………… 6
圖 3-0非法魔方群的12個等價類……………………………………… 9
圖 3-1-1順時針扭轉屬於非合法群，故無解法…………………………… 10
圖 3-1-2合成2次仍屬於非合法群，有封閉性………………………… 10
圖 3-1-3合成3次竟得到解法，屬於合法群…………………………… 10
圖 3-1-4合成6次也得到解法，屬於合法群…………………………… 10
圖 3-1-5 Sage對順時針的角落方塊扭轉(cw)的雲端運算………… 11
圖 3-2-1檢驗ef的order為2的實驗值………………………………… 12
圖 3-2-2檢驗11類非法群，及c類與w類互逆的實驗值…………… 12
圖 4-1同態的操作，即從望遠鏡的反向端來看非法魔方群……… 20

參考文獻
壹、 中文部分

以色列‧郭羅斯曼(Israel Geossman),威廉‧馬格努思(Wilhelm Magnus) 著. 顏正直 譯.(2007)群及點線圖.凡異出版社，138-141

貳、 西文部分

Jamie Mulholland.(2013) Permutation Puzzles: A Mathematical Perspective. Department of Mathematics Simon Fraser University. Draft date January 5, 2013.

Joseph A. Gallian.(2010) Contemporary Abstract Algebra. Brooks/Cole, Cengage Learning.

Rafid Hoda.(2010) Finding the total number of legal permutations of the Rubik’s Cube. May 2010.

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David Joyner . (2008) Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and Other Mathematical Toys. 5-15-2008. 167

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