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在毛利斯及華特曼一九八九年的一篇論文中, 他們兩人討論了有關於滿足適當可積條
件的圓環面上的函數之二維傳立葉級數的收斂問題. 他們的主要結論為: 如果有個這
類函數的 (二維) 傳立葉係數滿足適當的有界變分條件, 那麼, 幾乎有所有的圓環面
點上, 它的傳立葉級數便無限制地或有限制地收斂到該函數. 在我們這篇論文中則提
出一個類似的條件, 這個條件是有關傳立葉係數的有限次差分, 是對陳璋泡先生一九
八七年的一篇討論一維三角組數之點收斂的論文之推廣. 結論是: 一個圓環而上的函
數 (滿足適當的可積條件) 的傳立葉係數如果滿足上述之差分條件, 那麼該函數的傳
立葉級數便有上述之收斂性質. 我們將舉例證明我們的條件和毛利斯及華特曼的論文
中的條件下一樣.
很多人都知道, 在一維的情況下, 如果一個一維三角級數收斂, 那麼其西沙洛和便自
動收斂. 令人驚訝的是, 在二維的情況下, 假設一個二維三角級數的係數滿足前面所
提到的有限次差分的條件, 那麼其西沙洛和之收斂自動保證該二維三角級數之收斂,
但反之則不然! 事實上, 和我們前一段所提到的傳立葉級數之收斂, 但反之則不然!
事實上, 和我們前一段所提到的傳立葉級數之收斂的結論, 是這項事實 (在加上有關
於二維傳立葉組數之西沙洛和之收斂的輔理) 所造成的.
在上述之陳璋泡先生的論文中, 引進了一種 (一維的) 分部求和的方法. 經過適當的
手續, 事實上有些一維上的方法仍可用到二維的問題. 本文中的證明就用了陳璋泡先
生的這種分部求和方法.
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