|
在本文中，我們將透過廣義型態的LYAPUNOV方程式R(AHB)*=AHB*+BHA* 去建立一些矩
陣對（A,B ）上的慣量理。利用這些定理，我們可以找到一個計算方法去造出一個HE
RMITIAN 矩陣H ，其中這個H 是R(AHB*)=AHB*+BHA* 的解，使得H 的慣量等於（A,B
）的慣量（也就是說IN(H)=IN(A,B))。一個矩陣的慣量指的是由其特徵數之實部正負
號及零的個數，所組成的一個三維向量。其中第一個位置就是實部為正之總數，第二
個位置則是實部為負之總數，第三個位置則擺實部為零的特徵值的總數。我們並且從
透過與CARLSON 及DATTA 的計算方法之比較，來討論我們所建立的計算方法的穩定性
。
在第２，３，４節裡，我們建立一些矩陣對（Ａ，Ｂ）上的慣量定理。在第三節裡，
我們並且要給一個主要定理，這個主要定理保證對任意的矩陣對（Ａ，Ｂ），其中Ｂ
是可逆矩陣，則存在有一HERMITIAN 矩陣Ｈ使得IN(A,B)=IN(H) 。在第五節當中，利
用這些定理，我們將給一個計算方法去造這個HERMITIAN 矩陣Ｈ。而在最後一節我們
要比較我們的方法，和CARLSON 及DATTA 的，並且將給一個例子，來幫助我們了解它
們之間的差異，事實上我們將會發現：當Ｂ非常的接近奇異時（NEARLY SINGULAR ）
，則我們的方法，較之於CARLSON 及DATTA 的方法有更高的穩定性。
關於我們的計算方法，首先是先引入林文偉教授及曾榮川先生於１９８８年所研究出
的(H,F)MDR-ALGORITHM，將(A,B) 化簡，使得Ａ變為一下HESSENBERG矩陣，而Ｂ變為
一對角矩陣，而當此對角矩陣中有一或二個元素其絕對值極小時，則透過(H,F)MDR計
算方法的運算，我們可以將這些小元素給逼到對角矩陣的最右下角，這個行為提供了
我們第五節所建立的運算方法（ALGORITHM 5.1 ）的一穩定基礎，使得我們可以得到
一個相當不錯的結果。
|