|
在此篇論文中，我們考慮一實係數λ多項式矩陣的廣義特徵值問題
r
(1.1) Ｆ(λ)χ≡(Ａ＋λＡ＋ … ＋λ Ａr)χ＝０，
此處Ａj 是Ｎ×Ｎ的實數矩陣，ｊ＝０,１,…,ｒ 。我們稱滿足(1.1) 式的λ為特
徵值，χ為其對應的特徵向量。一般而言，這些矩陣都是大型稀疏 (large and
sparse) 的，所以我們有興趣的特徵值，通常是一個被給定特定值μ附近的數個
。比方說欲求廣義特徵值問題(1.1) 中，絕對值最小（即最靠近０）的ｒ個特徵值
，其中ｒ＜＜ｎ。在解這類問題時，我們希望計算方法具有如右的性質：(P1)保持
實數結構。(P2)有效。
第一個性質是可以節省計算機的儲存空間和部份計算量，第二個性質則希望儘可能
依序求得給定值附近ｒ個特徵值，不會發生任何誤取。對於(P2)一般必須考慮所謂
的縮減法才不致於誤取。所以本文中，我們除了提供一個具有(P1)和(P2)性質的計
算方法之外，並將與一些已知的縮減法進行比較。
我們的方法是用SVD 分解，進行牛頓法疊代，而在第一個最靠近的特徵值μ求得
之後，利用一個稱之為非等價轉換縮減法去求第二個最靠近的特徵值μ。此種轉
＿
換法保有實數運算，避免破壞Ａj 矩陣的實數結構，並且將已求得的μ及μ（
若μ是複數特徵值時）轉換成無窮大，而保有其餘的特徵值及特徵向量（有一固
定轉換公式）因此(1.1) 中第二個最靠近μ的解變成新λ多項式矩陣第二個最靠
近μ的解，透過此種轉換法我們結合牛頓法疊代，可以有效將新λ多項式矩陣第
一個最靠近μ的解求出。如此可繼續求得其餘第三，......，第ｒ個靠近μ的
特徵值。
透過一些分析與計算機模擬，我們將可知道，在一些情形下，我們所提供的方法比
已知的其他方法有效，而在計算量方面，相對於這些方法，我們所提供的方法也較
便宜。
|