臺灣博碩士論文加值系統

偏微分方程(PDE)無論在數學或物理上都佔有十分重要的地位。通常其解不易求出，一般常使用數值方法求其近似解。傳統多採用有限差分法(Finite difference method)或有限元素法(Finite element method)。近年來由於正交多項式(orthogonal polynomial)的廣泛應用，頻譜法(Spectral method)逐漸受到重視。本論文是採用頻譜法搭配配點法(Collocation Method)，搭配C程式語言，研究求解一維、二維、三維偏微分方程式。
第一章介紹頻譜配點法的背景；第二章介紹頻譜配點法的基本原理、Fourier級數、Chebyshev多項式、邊界處理、座標轉換與相關數值方法；第三章以Poisson方程式測試頻譜配點法求解不同維度的邊界條件問題(Boundary Value Problem)；第四章以wave方程式測試頻譜配點法求解線性波方程式；第五章以Burgers方程式測試頻譜配點法求解不同維度的非線性波方程式；第六章為結論。

誌　 謝 i
摘　 要 ii
目　 錄 iii
圖 目 錄 vi
表 目 錄 vii
1. 緒論 1
1.1 前言 1
1.2 研究方法與目的 2
2. 頻譜配點法之介紹 3
2.1 基本原理 3
2.2 Fourier級數 5
2.3 Chebyshev級數 9
2.4 邊界處理 17
2.5 相關數值方法 22
2.6 座標轉換 24
3. 頻譜法配點法之應用(一)邊界值問題 26
3.1 1D Poisson equation 27
3.1.1 Dirichlet Boundary Condition 28
3.1.2 Robin Boundary Condition 31
3.1.3 Neumann Boundary Condition 34
3.2 2D Poisson equation in a square 37
3.2.1 Dirichlet Boundary Condition 38
3.2.2 Robin Boundary Condition 41
3.2.3 Neumann Boundary Condition 44
3.3 2D Poisson equation in a circle 47
3.3.1 Dirichlet Boundary Condition 48
3.3.2 Robin Boundary Condition 51
3.3.3 Neumann Boundary Condition 54
3.4 3D Poisson equation in a cube 57
3.4.1 Dirichlet Boundary Condition 58
3.4.2 Robin Boundary Condition 61
3.4.3 Neumann Boundary Condition 64
3.5 3D Poisson equation in a cylinder 67
3.5.1 Dirichlet Boundary Condition 68
3.5.2 Robin Boundary Condition 73
3.5.3 Neumann Boundary Condition 78
4. 頻譜配點法應用(二)線性波 83
5. 頻譜配點法應用(三)非線性波 86
5.1 1D Burgers equation 87
5.2 2D Burgers equation in a square 94
5.3 2D Burgers equation in a circle 101
5.4 3D Burgers equation in a cube 108
5.5 3D Burgers equation in a cylinder 115
6. 結論 122
參考資料 123

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