臺灣博碩士論文加值系統

本文主要討論多變數函數的微積分及其應用， 針對民國 89 至 105
年之國立台灣大學微積分統一教學下學期期中考考古題進行整理，以Larson and Edwards (2013) 為架構，
主要分為四個主題：無窮級數、向量值函數、多變數函數及多重積分。
在各個主題中除了介紹歷屆考題出現的名詞定義外，
同時介紹相關的定理與性質來幫助解題，
整理出常見的考題與其應用到的觀念，之後附上例子來說明以幫助了解，
並在每章的最後一節附上歷年的分類試題以供讀者深入探討與練習。

This study investigates all problems of the midterm exams of the spring semester
of uni ed teaching of calculus at National Taiwan University from 2000 to 2016.
These problems according to Larson and Edwards (2013) are classified as four topics including: Infinite Series, Vector-Valued Function, Functions of Several Variables and Multiple Integration. Each topics begins with the important definitions,
theorems and properties for problem solving, followed by several related examples
chosen to illustrate the applications of theorems and properties. All the classifi ed
exam problems are included in the last section of each topic for further study and
practice.

論文審定書 i
誌謝 ii
摘要 iii
Abstract iv
表次 xi
圖次 xii
第一章 前言 1
第二章 無窮級數 4
2.1 數列 5
2.1.1 數列 5
2.1.2 數列的極限 6
2.1.3 察覺數列的規律 7
2.1.4 單調數列和有界數列 7
2.2 級數和收斂 9
2.2.1 無窮級數 9
2.2.2 幾何級數 10
2.2.3 利用一般項檢驗發散 11
2.3 積分檢定和 p 級數 12
2.3.1 積分檢定 12
2.3.2 p-級數與調和級數 13
2.4 級數的比較 14
2.4.1 (直接)互比檢定 14
2.4.2 極限互比檢定 14
2.5 交錯級數 15
2.5.1 交錯級數 15
2.5.2 交錯級數的餘項 16
2.5.3 絕對和條件收斂 16
2.6 比例與根式檢定 17
2.6.1 比例檢定 17
2.6.2 根式檢定 18
2.6.3 檢定的策略 18
2.7 泰勒多項式和近似值 19
2.7.1 基本函數的多項式近似 19
2.7.2 泰勒和馬克勞林多項式 19
2.7.3 泰勒多項式的餘項 20
2.8 幕級數 20
2.8.1 幕級數 20
2.8.2 收斂半徑和收斂區間 21
2.8.3 在端點的欽散性 21
2.8.4 幕級數的微分和積分 22
2.9 以幕級數表示函數 23
2.9.1 幾何幕級數 23
2.9.2 幕級數的運算 24
2.10 泰勒和馬克勞林級數 24
2.10.1 泰勒和馬克勞林級數 24
2.10.2 二項級數 26
2.10.3 基本泰勒級數表 27
2.11 習題 28
2.11.1 數列 28
2.11.2 級數和收斂 29
2.11.3 積分檢定和 p 級數 30
2.11.4 級數的比較 30
2.11.5 交錯級數 31
2.11.6 比例與根式檢定 33
2.11.7 泰勒多項式與近似值 34
2.11.8 幕級數 34
2.11.9 以幕級數表示函數 37
2.11.10 泰勒和馬克勞林級數 37
第三章 向量值函數 40
3.1 參數方程式和微積分 41
3.1.1 斜率和切線 41
3.1.2 弧長 42
3.1.3 旋轉體表面積 42
3.2 極座標與極座標圖 42
3.2.1 極座標　42
3.2.2 座標轉換 42
3.2.3 斜率和切線 43
3.3.1 極座標區域的面積 43
3.3.2 極座標的弧長形式 44
3.3.3 旋轉曲面的面積 45
3.4 空間中的曲面 45
3.4.1 柱面 45
3.4.2 二次曲面 45
3.4.3 旋轉面 46
3.5 柱座標和球座標 46
3.5.1 柱座標 46
3.5.2 球座標 46
3.6 向量值函數 47
3.6.1 空間曲線和向量值函數 47
3.6.2 極限與連續 47
3.7 向量值函數的微分和積分 48
3.7.1 向量值函數的積分 49
3.8 速度和加速度 49
3.8.1 速度和加速度 49
3.8.2 拋體運動 50
3.9 切線向量和法向量 50
3.9.1 切線向量和法向量 50
3.9.2 加速的切線向量和法向量 51
3.10 弧長及弧度 52
3.10.1 弧長 52
3.10.2 弧長的參數 52
3.10.3 曲率 53
3.10.4 應用 55
3.11 習題 55
3.11.1 向量值函數的微分和積分 55
3.11.2 速度和加速度 56
3.11.3 弧長及弧度 59
第四章 多變數函數 62
4.1 多變數函數導論 63
4.1.1 多變數函數 64
4.1.2 兩變數函數的圖形 64
4.1.3 等高線 64
4.1.4 等位面 64
4.2 極限與連續 64
4.2.1 兩變數函數的極限 65
4.2.2 兩變數函數的連續性 65
4.2.3 三變數函數的連續性 67
4.3 偏導函數 67
4.3.1 兩變數函數的偏導函數 67
4.3.2 三個或三個以上變數函數的偏導函數 68
4.3.3 高階偏導函數 68
4.4 微分 70
4.4.1 增量與微分 70
4.4.2 可微分性 70
4.4.3 以微分求近似值 70
4.5 多變數函數的連鎖律 71
4.5.1 多變數函數的連鎖律 71
4.5.2 隱(偏)微分 73
4.6 方向導數和梯度向量 73
4.6.1 方向導數 73
4.6.2 兩變數函數的梯度向量 74
4.6.3 梯度向量的應用 76
4.6.4 三個變數的函數 77
4.7 切平面和法線 79
4.7.1 曲面的切平面和法線 79
4.7.2 平面傾斜的角度 81
4.7.3 梯度向量 ∇f (x, y) 和 ∇F (x, y, z) 的比較 81
4.8 兩變數函數的極值 81
4.8.1 絕對和相對極值 81
4.8.2 二階偏導數檢定 82
4.9 兩變數函數極值的應用 84
4.9.1 最佳化問題的應用 84
4.9.2 最小平方法 84
4.10 拉格朗日乘子法 85
4.10.1 拉格朗日乘子法 85
4.10.2 雙重限制條件下的拉格朗日乘子法 87
4.11 習題 88
4.11.1 極限與連續 88
4.11.2 偏導函數 91
4.11.3 微分 94
4.11.4 數函數的連鎖律 95
4.11.5 方向導數和梯度向量 97
4.11.6 切平面和法線 105
4.11.7 兩變數函數的極值 107
4.11.8 拉格朗日乘子法 112
第五章 多重積分 116
5.1 逐次積分和平面上的面積 117
5.1.1 逐次積分 117
5.1.2 平面上區域的面積 117
5.2 二重積分和體積 119
5.2.1 二重積分和立體的體積 119
5.2.2 二重積分的性質 120
5.2.3 計算二重積分 120
5.2.4 函數的平均值 122
5.3 積分變數變換：極座標 123
5.3.1 在極座標系中計算二重積分 123
5.4 質心和慣性矩 124
5.4.1 質量 124
5.4.2 質矩和質心 125
5.4.3 慣性矩 126
5.5 曲面面積 127
5.5.1 曲面面積 127
5.6 三重積分與應用 127
5.6.1 三重積分 127
5.6.2 質心和慣性矩 128
5.7 圓柱和球面生標的三重積分 130
5.7.1 圓柱生標的三重積分 130
5.7.2 球面座標的三重積分 131
5.8 變數變換：雅可比矩陣 131
5.8.1 雅可比 131
5.8.2 二重積分的變數變換 131
5.9 習題 132
5.9.1 逐次積分和平面上的面積 132
5.9.2 二重積分和體積 132
5.9.3 積分變數變換：極座標 134
5.9.4 質心和慣性矩 136
5.9.5 三重積分與應用 137
5.9.6 圓柱和球面座標的三重積分 138
5.9.7 變數變換：雅可比矩陣 138
參考文獻 140
索引 141

Hohenwarter, M., Borcherds, M., Ancsin, G., Bencze, B., Blossier, M., Delobelle,
A., Denizet, C., Elias, J., Fekete, A, Gal, L., Konecny, Z., Kovacs, Z., Lizelfelner,
S., Parisse, B. and Sturr, G. (2013). GeoGebra 4.4.
http://www.geogebra.org.

Larson, Ron and Edwards, Bruce H. (2013). Calculus, 10th Edition. New York:
Brooks Cole.

台大數學系微積分甲統一教學網站 (2017)。民國 89-105 年期中考考古題。
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/a/?page_id=7

台大數學系微積分乙統一教學網站 (2017)。 民國 98-105 年期中考考古題。
http://www.math.ntu.edu.tw/~mathcal/b/?page_id=861

何靜怡 (2017)。微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(上)期中試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。

黃傳鈞 (2017)。微積分統一教學題庫之研究：以台灣大學微積分(上)期末試題為例。
台灣高雄市國立中山大學碩士論文。